Zagadka Einsteina

Na zakończenie tygodnia mamy dla Was zagadkę, której autorstwo przypisuje się Albertowi Einsteinowi. Zapraszamy do zapoznania się z jej treścią:

5 ludzi różnych narodowości zamieszkuje 5 domów w 5 różnych kolorach. Wszyscy palą papierosy 5 różnych marek i piją 5 różnych napojów. Hodują zwierzęta 5 różnych gatunków. Który z nich hoduje rybki?

Norweg zamieszkuje pierwszy dom
Anglik mieszka w czerwonym domu.
Zielony dom znajduje się bezpośrednio po lewej stronie domu białego.
Duńczyk pija herbatkę.
Palacz papierosów light mieszka obok hodowcy kotów.
Mieszkaniec żółtego domu pali cygara.
Niemiec pali fajkę.
Mieszkaniec środkowego domu pija mleko.
Palacz papierosów light ma sąsiada, który pija wodę.
Palacz papierosów bez filtra hoduje ptaki.
Szwed hoduje psy.
Norweg mieszka obok niebieskiego domu.
Hodowca koni mieszka obok żółtego domu.
Palacz mentolowych pija piwo.
W zielonym domu pija się kawę.
Zakłada się, że domy ustawione są w jednej linii (1-2-3-4-5), a określenie "po lewej stronie" w punkcie 3. dotyczy lewej strony z perspektywy naprzeciw tych domów (tj. dom o numerze n jest bezpośrednio po lewej stronie domu n+1).

Powodzenia w "główkowaniu"! :D

Maturalne powtórki: Działania na potęgach i funkcja wykładnicza.

Chociaż pogoda nie zachęca do jakiejkolwiek pracy, a cały dzień najchętniej spędzilibyśmy pod ciepłym kocem z kubkiem kakao, to może warto zerknąć na kolejną powtórkę maturalną. Dzisiaj przygotowaliśmy dla Was wiadomości o funkcji wykładniczej.

Przydatne wzory:

a,b ∈ℝ+ ∧ x,y ∈ℝ

Funkcja wykładnicza to funkcja określona wzorem

, x∈ℝ ⋀ a>0

• D=ℝ ; ZW=(0,∞) ; brak miejsc zerowych
• jeśli a∈(0,1), to funkcja jest malejąca
• jeśli a=1, to funkcja jest stała
• jeśli a∈(0,∞), to funkcja jest rosnąca
• wykres każdej funkcji wykładniczej przechodzi przez punkt (0,1)

Równania wykładnicze:

Nierówności wykładnicze:

Zadania:

1.

2.

3.

4.

Odpowiedzi:

1.

2.

 3.

4.

5.

6.

 7.

Grafy

Z ostatnią zagadką, którą wrzuciliśmy, wiąże się dość ciekawe zagadnienie: teoria grafów.
Zacznijmy od tego, czym w ogóle jest graf. 
Wiemy, że w pierwszym skojarzeniu większości przychodzą nam na myśl kółeczka z podstawówki, gdy porządkowaliśmy różne przedmioty według jakiegoś klucza. My zajmiemy się jednak "grafem" jako zagadnieniem matematyki dyskretnej. Brzmi tajemniczo? No to zaczynamy!
W uproszczeniu graf to zbiór wierzchołków, które mogą być połączone krawędziami w taki sposób, że każda  krawędź kończy i zaczyna się w którymś z wierzchołków.

Gdy znane nam już jest pojęcia grafu, warto zainteresować się zagadką, którą rozpoczyna się prawie każdy wykład z Teorii Grafów:

W osiemnastym wieku mieszkańcy Królewca lubili spacerować po mostach na rzece Pregole, których mieli w mieście siedem. Plan mostów pokazuje rysunek.

Ale takie zwykłe spacerowanie po jakimś czasie im się znudziło, i zaczęli zastanawiać się czy jest taka trasa spacerowa, która przechodzi przez każdy most dokładnie raz, żadnego nie omija, i pozwala wrócić do punktu wyjścia.

Nie potrafili sami rozwiązać tego problemu, więc napisali do znanego już wtedy matematyka Leonharda Eulera. Euler pokazał, że nie istnieje rozwiązanie tego zadania. (Jeśli wejdzie się po raz trzeci na wyspę, nie ma możliwości wyjścia z niej.)

Można tę sytuację przedstawić jako graf o wielokrotnych krawędziach:

Trzeba w tym grafie znaleźć cykl Eulera, czyli cykl przechodzący przez wszystkie wierzchołki i wszystkie krawędzie tego grafu, ale przez każdą krawędź tylko raz.

W opublikowanej w 1736 roku pracy Euler sformułował pierwsze twierdzenie teorii grafów, które dziś zapisujemy następująco:

W grafie można znaleźć cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy graf jest spójny i każdy jego wierzchołek ma parzysty stopień.

Znając to twierdzenie, zawsze można stwierdzić, czy łamigłówka typu "narysuj figurę, nie odrywając ołówka od kartki" ma rozwiązanie.

To co tu przedstawiliśmy, to jedynie kropla w morzu informacji związanych z tym zagadnieniem, dlatego zapraszamy Was do zapoznania się z tymi stronami, gdzie jest jeszcze szerzej opisane to pojęcie.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Graf_(matematyka)
http://www.cs.put.poznan.pl/aurbanski/prezentacja-Teoriagrafowdlamalolatow.pdf

Dla osób szczególnie zainteresowanych polecamy ten wykład:
http://math.uni.lodz.pl/~marmaj/Files/grafyLic.pdf

Jeśli przeczytaliście artykuł ze zrozumieniem, to już wiecie, że nie da się rozwiązać naszego czwartkowego problemu architekta :D Czasem nawet matma nie pomoże...;)

Pozdrawiamy, Matblog! :D

Odwieczny "Problem architekta"

Kto z Was nie marzył o pracy w biurze projektowym, czy też wydziale
ds. planowania przestrzennego?
Na pewno, wśród odwiedzających znajdą się miłośnicy rysunku i pięknej architektury. Jednak zanim dostaniemy się na stanowisko, które pozwoli nam decydować o takich rzeczach, musimy zacząć od podstaw. Mamy dla Was zadanie- doprowadźcie do wszystkich domków przyłącza gazu, wody i prądu. Jest jeden warunek, te linie, z racji bezpieczeństwa,  nie mogą się krzyżować. Za to mogą przechodzić za domkami i gdziekolwiek indziej. Długość przyłącza nie gra roli.
Powodzenia!

"Jak mnie zmierzysz, to powiem Ci, ile metrów ma ta piramida!"

"Człowieka ocenia się wedle pieniędzy: nikt, kto biedny, nie cieszy się szacunkiem."

Brzmi dość płytko? Jednak dla naszego dzisiejszego bohatera, żyjącego na przełomie VI i VII wieku, była to przykra prawda o jego codzienności. 

Tales z Miletu - filozof grecki zaliczany do grupy tak zwanych siedmiu mędrców, do których należeli: Bias z Prieny, Myzon z Chene, Solon (polityk), Pittakos z Mityleny (polityk), Kleobulos z Lindos, Chilon ze Sparty. Niech Was nie zmyli obecność iście humanistycznych sław w jego otoczeniu. Był filozofem jońskim (odwoływanie się w swoich poglądach do czterech żywiołów budujących świat - wody, ziemi, ognia oraz powietrza). Szczególnie wodę traktował jako alfę i omegę, wytłumaczenie i potwierdzenie wszelkich mitów i podań starożytności.  Tales żył w mniej więcej w latach 624 p.n.e. do 546 roku p.n.e. Jego dokładne lata życia nie są znane. Wiadomo tylko, że uczestniczył w kilku wydarzeniach, które mniej więcej zamykają się w ramach czasowych określanych jako początkowa i końcowa data jego życia. Wszystkiemu, co zaistniało w przyrodzie, przypisywał posiadanie duszy - szczególnie przedmiotom nieożywionym. 
Najstarszym ze znanych autorów wspominających Talesa jest żyjący 150 l. później Herodot, który przekazał nam ważną informację dotyczącą jego życia. Jest to mianowicie wzmianka o przepowiedzianym przez Talesa zaćmieniu Słońca, które rozsławiło szeroko jego imię. Sprawa ta wymaga jednak wyjaśnienia, bo przecież nikt, kto ma jakieś (choćby elementarne) pojęcie o astronomii, nie uwierzy, by można było przepowiedzieć dokładnie zaćmienie Słońca, mając fałszywy obraz budowy kosmosu. Tales nie miał, bo mieć nie mógł, wiedzy potrzebnej do jakichkolwiek przewidywań astronomicznych. Nie wiedział przede wszystkim, że Ziemia jest kulista. Gdyby przewidywał zaćmienie w sposób naukowy, przepowiednia nie byłaby odosobniona. Nie byłaby też podawana w pewnym tylko przybliżeniu - Herodot twierdzi, że Tales mówił o zaćmieniu mającym nastąpić w ciągu roku. Jest jedno tylko możliwe do przyjęcia wytłumaczenie tego faktu: udało mu się przypadkiem odgadnąć. Ale to zgadywanie opierało się jednak na obliczeniach wynikających z obserwacji kolejno się powtarzających zaćmień Słońca i Księżyca. A wiadomo skądinąd, że obserwacje takie były prowadzone przez wiele stuleci przez Egipcjan i Babilończyków. W ich wyniku ustalono, że zaćmienia powtarzają się w przybliżeniu co osiemnaście lat. Okres ten nazwano saros , a obejmował on dwieście dwadzieścia trzy księżycowe miesiące (dokładnie osiemnaście lat; dziesięć dni i osiem godzin). 

Odkrycia matematyczne:

Tales uchodzi za pierwszego matematyka, który wprowadził do Grecji geometrię, przyswoiwszy sobie jej zasady w czasie pobytu w Egipcie. Przypisuje mu się następujące twierdzenia:
1) o przepołowieniu koła przez średnicę,
2) dwa kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe,
3) jeżeli dwie linie proste przecinają się, przeciwległe kąty są równe,
4) kąt wpisany w półkole jest kątem prostym,
5) trójkąt jest określony, jeżeli dana jest jego podstawa i kąty przy podstawie.
Twierdzenia 1-3 przypisywał Talesowi Proklos, powołując się na autorytet Eudemosa. Twierdzenie 4 jest przytoczone przez Diogenesa Laertiosa wraz z informacją, że po wpisaniu trójkąta prostokątnego w koło, Tales złożył bogom wołu w ofierze. Twierdzenie 5 wiąże się z pomiarami odległości okrętów na morzu, ale zarówno to twierdzenie, jak i pomiary wysokości piramid przy pomocy ich cienia, mogły być przeprowadzone w sposób czysto empiryczny, bez odwoływania się do praw geometrii.
Co więcej, matematyk był świadomy wzajemnych oddziaływań magnesu i żelaza oraz zjawiska elektryzowania się bursztynu. 


Ponadto był on autorem słynnego twierdzenia Talesa, zgodnie z którym:
 „Jeżeli ramiona kąta przecięte są prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta, są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu kąta”. Tales nie wyprowadził jednak dowodu na to twierdzenie. 

www.wersus.com.pl

Na to twierdzenie występuje wiele zadań i z czystym sumieniem możemy zalecić dodanie go do twierdzenia Pitagorasa i zapamiętania jak przysłowiowy "amen" w pacierzu, jesli chcemy sobie poradzić w maju na egzaminie dojrzałości, a także bez problemu przebrnąć przez kwietniowy egzamin gimnazjalny :)

Pozdrawiamy, 

MatBlog

Matematyka w sztuce cz.1

Jak wiecie, matematyka ma bardzo szerokie zastosowanie. Jednym z nich jest na pewno wykorzystanie w twórczości artystycznej. Szczególnie widoczne jest to w architekturze. Dziś właśnie chcemy Wam wspomnieć o bardzo ciekawym zagadnieniu, czyli o tzw. "boskiej proporcji".

Według definicji złoty podział stosowany przez malarzy i architektów, jest to "podział odcinka na takie dwie części, że stosunek całego odcinka do większej części jest równy stosunkowi większej części do mniejszej".

Obok powszechnie znanej liczby  (pi) istnieje mniej znana liczba  (fi), która wyraża stosunek dwóch części odcinka podzielonego podziałem złotym. Ile wynosi liczba  ?
 
Liczbą , nazywamy jedyną liczbę rzeczywistą, taką, że jej odwrotność jest równa różnicy .
Starożytni Grecy uważali złoty podział za idealną proporcję, którą chętnie realizowali w architekturze. Obecnie złoty podział jest też często stosowany, np. wymiary znormalizowanego zeszytu pozostają w stosunku w przybliżeniu równym stosunkowi złotego podziału.

Co ciekawe, Partenon na Akropolu, najpiękniejsza świątynia starożytności, został zbudowany przy wykorzystaniu złotego cięcia.

Tego podziału również użył Salvador Dali. Układ jego obrazu został określony przy użyciu symetrii

i boskiej proporcji.

Złoty podział zdobył również uznanie grafików i ich klientów. 

Na tych stronach jest jeszcze wiele więcej przykładów na zastosowanie tej proporcji:

http://www.zobaczycmatematyke.krk.pl/przyklady/Badecka/architektura.htm

http://grafmag.pl/artykuly/zloty-podzial-czyli-odrobina-geometrii-w-projektowaniu/

Dla szczególnie zainteresowanych tym tematem polecamy ten cykl filmów: 

https://www.youtube.com/watch?v=EU9beTvpt2c

Pozdrawiamy, Matblog! :D

Maturalne powtórki: Logarytmy cz.1

Z racji tego, że jesteśmy (niestety) w klasie maturalnej i doskonale rozumiemy jak trudno jest samemu zmotywować się do powtórek materiału z ubiegłych lat, postanowiliśmy wrzucać raz w tygodniu tego rodzaju post z przydatnymi wzorami i zadaniami. Zacznijmy więc od logarytmów.

Przydatne wzory:

Funkcja logarytmiczna to funkcja określona wzorem 

 f(x) = logax, gdzie a>0 ∧ a≠1 ∧ x>0.

• jeśli a>1 to funkcja jest rosnąca
• jeśli a>0  ∧ a<1 to funkcja jest malejąca

Równania logarytmiczne:

Nierówności logarytmiczne:

Zadania

Do każdej z funkcji dorzucimy jakieś zadanie cobyście lepiej zrozumieli. O wiele łatwiej jest zobaczyć zastosowanie w praktyce.

1.Oblicz wartość wyrażenia:

Odpowiedzi:

Zagadka #1

W oczekiwaniu na Wasze zadania, mamy dla Was zagadkę :

W jednym z krajów jest w obiegu pięć rodzajów monet; jedno-, pięcio-, dziesięcio-, dwudziestopięcio- i pięćdziesięciocentowe. Bilet tramwajowy można kupić za mniej niż 100 centów. Najmniejsza liczba, za którą mozna kupić 1 bilet wynosi sześć. Za dwa bilety- cztery monety, a za trzy - dwie. Ile kosztuje bilet?

Rozwiązanie już jutro!
Macie już na nią pomysł? :)

Pogotowie na start

Tak jak obiecaliśmy, mamy 6 października, więc rusza nasze E-Pogotowie Matematyczne! Już od dziś możecie przysyłać swoje problemy matematyczne, a my postaramy się Wam pomóc nie tylko "suchym" rozwiązaniem, ale pokażemy drogę do wyniku końcowego :) Przy zgłoszeniu prosimy o podanie prawdziwego adresu mailowego lub innej formy kontaktu, abyśmy mogli się z Wami łatwo i szybko porozumieć.

"Proszę Pani, ja go znam..to ten, no...od trójkąta!"

"Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak najprędzej stali się tobie przyjaciółmi"

Brzmi jak słowa jednego z wielkich filozofów Starożytnej Grecji? Tak, nie pomyliliście się! Jednak niech nie zmyli Was ten filozoficzny wydźwięk, podchodzący bardziej do rozważań nad własnym życiem, a nie matematyką. Autorstwo tych słów przypisuje się matematykowi, o którym wiedzą nawet dzieci w podstawówce. Mowa tu o Pitagorasie. 

Urodzony ok. 572r. p.n.e grecki matematyk i filozof, założyciel tzw. szkoły pitagorejskiej w Krotonie (południe Włoch). W szkolej tej rozważano między innymi takie problemy matematyczne, jak podwojenie sześcianu, trysekcja kąta, kwadratura koła itp. Do klasycznej wiedzy matematycznej przeszło słynne twierdzenie, powszechne zwane twierdzeniem Pitagorasa. Wierzyli również w reinkarnację, w obojętną postać, nawet roślinę. Swoją droga, ciekawe czy myśleli nad wcieleniem się np. w ramię trójkąta? :)
Odegrali wręcz pionierską rolę w matematyce, jako pierwsi używając  nazwy "matematyka" do określenia opisywania świata za pomocą liczb. Pochodzi od greckiego mathema oznaczającego poznanie, wiedzę. Grecy do matematyki zaliczali nie tylko arytmetykę i geometrię, ale tez astronomię oraz...muzykę :)
To oni zapoczątkowali erę tezy na stałe połączonej z założeniami i dowodem. Czyniąc świat lepszym!
Jednak nie jest pewne, czy to Pitagoras, czy ktoś z jego zaplecza, czy też któś zupełnie z innego miejsca na Ziemi jako pierwszy udowodnił "jego" twierdzenie. Biorąc to na logikę, nie można było go udowodnić, skoro nie znano, a na pewno niedokładnie rozumiano słowo "dowód". Jednak przypuszcza się, że Pitagoras przeszczepił na grunt grecki elementy wiedzy Babilończyków i Egipcjan, którzy także kombinowali jak znaleźć zależności w takim trójkącie.
Dziś z dumą i pewnością możemy powtórzyć za Pitagorasem:
 

"Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej."

I niech ta, jakże wpadająca w ucho, złota myśl, poparta niezliczonymi dowodami, wraz z popiersiem Mistrza, prowadzi nas przez całe życie  :)

Miłej nocy! Obojętnie w jakim etapie dnia aktualnie się znajdujecie.

Wasz,

MatBlog