Co to jest trygonometria?
Trygonometria jest działem matematyki, którego przedmiotem badań są związki miarowe między bokami i kątami trójkątów oraz funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie w związku z zagadnieniami pomiarów na powierzchni Ziemi oraz potrzebami żeglugi morskiej (określenia położenia i kierunku przy pomocy ciał niebieskich). Na rozwój trygonometrii miały też znaczący wpływ badania astronomiczne.
Skąd wzięły się nazwy funkcji trygonometrycznych?
Nazwy funkcji trygonometrycznych, którymi się obecnie posługujemy pochodzą z języka łacińskiego. Nazwy te powstawały w bardzo różny sposób, warto więc przyjrzeć się ich etymologiom:
- Sinus był w pracach hinduskiego matematyka Aryabhaty w sanskrycie nazywany ,,ardha-jiva" ("połowa cięciwy"), co zostało skrócone do ,,jiva", a następnie transliterowane do arabskiego ,,jiba". Europejscy tłumacze, Robert z Chester i Gerardo z Cremony w XII-wiecznym Toledo pomylili ,,jiba" z ,,jaib" , oznaczającym "zatokę" prawdopodobnie dlatego, że ,,jiba" i ,,jaib" są tak samo pisane po arabsku (informacja o samogłoskach jest gubiona w piśmie). Sinus znaczy po łacinie właśnie zatoka.
- Tangens pochodzi od łacińskiego tangere – dotykający, styczny.
- Secans pochodzi z łacińskiego secare – dzielić, rozcinać, rozstrzygać i znaczy odcięcie.
- Cosinus, cotangens i cosecans powstały przez złożenie łacińskiego co- (wspólnik, towarzysz) i słów sinus, tangens i secans. Pierwotnie cosinus był nazywany complementi sinus, czyli sinus kąta dopełniającego. Rzeczywiście jest on równy sinusowi miary kąta dopełniającego. Podobnie cotangens i cosecans są równe tangensowi i secansowi tego kąta. Przedrostek "ko-" był jednak używany w stosunku do cosinusa już w sanskrycie u Aryabhaty (koti-jya, kojya); trudno określić, w jakim stopniu nazwa łacińska do tego nawiązuje.
Historia trygonometrii.
Twierdzenia dotyczące stosunków boków trójkątów podobnych znano już w starożytnym Egipcie i Babilonie, jednak społeczeństwa te nie znały idei miary kąta i badały tylko własności boków. Dopiero w starożytnej Grecji powstały twierdzenia będące protoplastami dzisiejszej trygonometrii. Zawarto je w formie geometrycznej w dziełach Euklidesa i Archimedesa. Na przykład propozycje XII i XIII z Księgi II Elementów są tożsame ze wzorem cosinusów odpowiednio dla kątów rozwartych i ostrych. Twierdzenia dotyczące długości cięciw są natomiast zastosowaniem wzoru sinusów. Jedno z twierdzeń Archimedesa jest zaś odpowiednikiem wzoru na sinus sumy i różnicy kątów. Matematycy za czasów Arystarcha z Samos dla celów obliczeniowych używali m.in. twierdzenia mówiącego, iż:
sinα/sinβ<α/β<tgα/tgβ dla 0°<β<α<90°
Pierwsze tablice trygonometryczne zostały prawdopodobnie skompilowane przez Hipparcha (180-125 p.n.e.). Hipparch jako pierwszy ułożył tablice odpowiadających sobie długości cięciwy i łuku dla różnych kątów. Dzięki tablicy Hipparcha spopularyzowany został podział kąta pełnego na 360 stopni, który jest stosowany do dziś.
Hipparchos z Nikei (Hipparch)
Później Klaudiusz Ptolemeusz (ok. 90 - ok. 168 n.e.) rozbudował w swoim dziele ,,Almagest" koncepcję "cięciw na okręgu" Hipparcha. Trzynasta księga ,,Almagestu" była znaczącą starożytną pracą w dziedzinie trygonometrii. Jedno z jej twierdzeń jest dziś znane jako twierdzenie Ptolemeusza. Szczególny przypadek twierdzenia Ptolemeusza pojawia się także w Propozycji XCIII dzieła Euklidesa. Twierdzenie Ptolemeusza prowadzi do równoważnika wzorów na sinus i cosinus sumy i różnicy, choć oczywiście wyrażonych w języku cięciw, a nie funkcji. Ptolemeusz wyprowadził później ekwiwalent wzoru:
Na podstawie swoich twierdzeń Ptolemeusz stworzył później własne tablice trygonometryczne, które podobnie jak tablice Hipparcha nie przetrwały do czasów współczesnych, jednak dzięki wzmiankom u innych autorów nie ma wątpliwości, że istniały.
Klaudiusz Ptolemeusz
Wielki wkład w rozwój trygonometrii mieli także Hindusi. Indyjski matematyk i astronom Aryabhata (476–550 n.e.) w swoim dziele ,,Aryabhata-Siddhanta” po raz pierwszy zdefiniował sinus w znanej po dziś dzień formie, a także cosinus, sinus versus i arcus sinus. Jego dzieła zawierają najwcześniejsze tablice trygonometryczne, które przetrwały do dzisiaj, z wartościami funkcji sinus i sinus versus co 3.75° stopnia od 0° do 90°, z dokładnością do czterech miejsc znaczących.
Aryabhata
Inni hinduscy matematycy rozwinęli później pracę Aryabhaty. Jednym z nich był Varahamihira, który już w VI wieku n.e. używał wzorów, z których korzystamy do dzisiaj choćby na lekcjach matematyki. Są to m.in. wzory redukcyjne oraz tzw. jedynka trygonometryczna.
W VII wieku Bhaskara I stworzył wzór pozwalający na przybliżone obliczanie sinusa dla kąta ostrego bez tablic (z błędem mniejszym od 1,9%):
W VII wieku Bhaskara I stworzył wzór pozwalający na przybliżone obliczanie sinusa dla kąta ostrego bez tablic (z błędem mniejszym od 1,9%):
W końcu VII wieku, Brahmagupta na podstawie wzorów Varahamihiry wyprowadził następujący wzór:
Brahmagupta stworzył także wzór interpolacyjny Brahmagupty, który umożliwił mu stablicowanie wartości sinusa.
Osiągnięcia Hindusów zostały później przetłumaczone, przejęte i rozszerzone przez arabskich i perskich matematyków. Jednym z nich był Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi, który w IX wieku obliczył dokładne tablice sinusa i cosinusa i pierwsze w historii tablice tangensa.W X wieku islamscy matematycy używali wszystkich sześciu funkcji trygonometrycznych z secansem i cosecansem włącznie, co wiadomo dzięki pracy autorstwa Abu al-Wafa. Abu al-Wafa stworzył tablice sinusa z krokiem 0,25° i dokładnością 8 cyfr dziesiętnych a także dokładne tablice tangensa. Zauważył również tożsamość, która jest używana do dziś:
sin2x=2cosxsinx
Traktaty dotyczące trygonometrii zaprezentowali Bhāskara Acārya i Nasir ad-Din Tusi w XIII wieku. Drugi z nich sformułował i udowodnił twierdzenie sinusów, sklasyfikował też sześć różnych przypadków prostokątnych trójkątów sferycznych.
W XIV wieku Ghiyath al-Kashi stworzył tablice sinusa z dokładnością do czterech cyfr sześćdziesiątkowych (odpowiednik 8 miejsc dziesiętnych) dla każdego stopnia. Uług Beg (XV wiek) także podał dokładne tablice sinusa i tangensa sięgające 8 miejsc
W dziedzinie trygonometrii Europejczycy byli przez długi czas daleko w tyle za Hindusami, Arabami i Persami. Dopiero w epoce renesansu europejscy matematycy zaczęli wprowadzać funkcje trygonometryczne. Jednym z nich był wybitny polski astronom i matematyk Mikołaj Kopernik, który w swym słynnym dziele ,,O obrotach sfer niebieskich” z 1543r. zawarł nie tylko teorię heliocentryczną, ale też m.in. pojęcie funkcji secans, która dotychczas nie była znana w Europie.
Pierwsza strona dzieła ,,O obrotach sfer niebieskich" Mikołaja Kopernika
Oprócz Kopernika funkcje trygonometryczne do europejskiej matematyki wprowadzali m.in.: Francesco Maurolico, Edmund Gunter i François Viète.
W 1595 Bartłomiej Pitiscus użył po raz pierwszy terminu "trygonometria" w swoim dziele ,,Trigonometria: sive de solutione triangulorum Tractatus brevis et perspicuus”.
,,Opus palatinum de triangulis” autorstwa Retyka, było prawdopodobnie pierwszą definicją funkcji trygonometrycznych w terminach trójkątów prostokątnych zamiast okręgów jednostkowych; ta praca została dokończona przez Valentina Otho, studenta Rheticusa w roku 1596.
Isaac Newton w 1665 znalazł rozwinięcie funkcji sinus i cosinus w szereg, a Leonhard Euler w 1734 rozwinięcie funkcji sinus w iloczyn nieskończony.
W XVII wieku Isaac Newton i James Stirling stworzyli wzór interpolacyjny Newtona-Stirlinga dla funkcji trygonometrycznych.
,,Opus palatinum de triangulis” autorstwa Retyka, było prawdopodobnie pierwszą definicją funkcji trygonometrycznych w terminach trójkątów prostokątnych zamiast okręgów jednostkowych; ta praca została dokończona przez Valentina Otho, studenta Rheticusa w roku 1596.
Isaac Newton w 1665 znalazł rozwinięcie funkcji sinus i cosinus w szereg, a Leonhard Euler w 1734 rozwinięcie funkcji sinus w iloczyn nieskończony.
W XVII wieku Isaac Newton i James Stirling stworzyli wzór interpolacyjny Newtona-Stirlinga dla funkcji trygonometrycznych.
Jak widać, historia funkcji trygonometrycznych jest niezwykle zawiła. Warto ją jednak poznać, aby wiedzieć, jak powstały prawa i wzory, z których korzystamy obecnie na lekcjach matematyki. Mamy nadzieję, że dzięki naszemu artykułowi trygonometria nie będzie już dla was czymś obcym, a co za tym idzie, stosowanie jej w obliczeniach stanie się łatwiejsze :)
Pozdrawiamy,
Pozdrawiamy,
MatBlog
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz